ハノイの塔

ハノイの塔の伝説
今から５０００年まえ，インドのベナレスという町に大寺院があり，そこには世界の中心といわれるドームがありました。その中には台が作られていて，その上にはダイヤモンドでできた棒が３本立っていました。インドの神ブラーマは，世界が始まるときに，この棒に黄金でできた円盤を６４枚さしておきました。この円盤は下が大きく，上に行くほど小さくできていて，ピラミッド状に積み上げられていました。そして，ブラーマは僧侶たちに次のような修行を与えました。

ブラーマは，この円盤がすっかり他の棒に移った瞬間に，世界は消滅してしまうと予言しています。５０００年たった今でも，寺院ではこの修行が続けられているそうなのですが・・・

模型による実験
３枚の円盤で行うと，最低７回でできます。右の写真は４枚ですが，円盤４枚だと最低１５回になります。円盤の枚数が１枚ずつふえると，回数がどのくらいずつふえていくのでしょうか。円盤が３枚や４枚くらいだと，わが家の子供でも５分もかからずにできてしまいます。

こども　「円盤が６４枚だったら，数時間でできるんじゃない？」
父さん　「だったら，もうとっくに世界は消滅してるじゃないかぁ〜」
こども　「だからぁ〜，そんな伝説はウソウソ！」
父さん　「まてよぉ〜？　彦一の有名な米粒の話もあるしなぁ・・・」

その後，子供は訓練して，５枚を約３０秒で動かせるようになりました。コツを発見したそうで，ＡからＢへ移しかえる場合は，円盤が奇数枚なら１枚目をＢに移し，偶数枚ならＣに移すことだそうです。

計算をしました
じつを言うと，この問題は数学の「数列」という分野でとり上げられる，有名なパズルなのです。円盤の枚数と移動回数の関係は，以下のようになることが知られています。

円盤の枚数を n とすると，移動回数は　２ⁿ-１　(２の n 乗−１)

表計算ソフトで計算してみると，次のようになりました。かりに，むだなく円盤を正確に移動できたとして，１枚を動かすのに１秒かかったとします。それでも６４枚を動かすのに，不眠不休でやっても５８００億年かかってしまいます。

宇宙の始まりのビッグバンは，約１５０億年まえだと言われています。地球に生命の祖先が生まれたのが，約４０億年まえです。５８００億年という時間のすごさが，分かるような気が・・・う〜ん，やっぱり実感できないなぁ。 (^^);

ハノイの塔は，1883年にフランスのＥ．リュカ教授が考案したパズルです。伝説も，教授が書かれた本にあるそうです。

とんち彦一ばなし　（彦一どんと殿さん）

とんちで有名な彦一が，八代（熊本県）の殿さまから，ほうびをもらうことになりました。

「彦一，何でんよか，おまえの好きなもんをほうびにやるから，申せ。」
「いやぁ，たいしたこつぁしとらんですけん，いりまっせんバイ。」
「何ば言うか，やると言うとるんだから，何でんよか，申せ。」
「殿さん，本当に何でんよかとですか？」
「くどか！　俺は殿さんゾ，何でんできるから，申せ！」

そこで，彦一が言うには，
「殿さんは，将棋が好きですね。将棋盤の最初の”ます目”に米を１粒置いてください。
２番目の”ます目”には２粒，３番目には４粒，４番目には８粒，・・・・・というふうに，
将棋盤の最後の”ます”まで米粒を置いていき，将棋盤全体の米粒をもらおうごたっとバッテン，
よかですか？」

「なんや，そんくらいか。彦一は欲んなかな。よかバイ。持ってけ，持ってけ。」
「ほんなこつ，よかですか？　そんなら証文ば書いてくだはりまっせ。」
殿さまは，「将棋盤の各々のますに，次々と倍々にして置いていく米粒を彦一に与える」
という約束を文書にして渡しました。

さて，殿さまは約束を守ることができたのでしょうか？この米粒の量は，いったいどれだけになるのでしょう？

計算すると。
１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２８＋・・・・
将棋盤のます目は８１（９×９）だから，
初項が１，公比が２の等比数列の，初項から第８１項までの和となります。
よって，等比数列の和の公式を使えば　２⁸¹−１　（２の８１乗−１）　となります。
この数値は，おおざっぱに見積もっても　２４×１０²³ 粒です。

さて，日本の米の年間生産量は約１０００万トンです。米は５０粒で約１ｇですから，これは，日本全国の生産量の約５０億年分に相当します。お父さんは，実際に米粒の重さを量って，計算したんだぞぉ〜，信じてくれぇ・・・